Forma normale: y'(t) = f(t, y(t))
Integrale generale: è l’insieme di tutte le soluzioni (\infty^1 soluzioni per le EDO di primo ordine, \infty^2 per le EDO di secondo ordine, ecc.); le soluzioni sono scritte in funzione di una costante arbitraria c
Soluzione particolare: soluzione che soddisfa una data condizione iniziale
Soluzione costante: soluzione particolare che soddisfa la condizione y(t_0) = y_0\, \forall t
Per determinare le eventuali soluzione costanti, si sostituiscono:
Forma normale: y'(t) = h(t) \cdot g(y(t))
Con h: J_1 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e g: J_2 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue
Eventuali soluzioni costanti: y(t) = c \, \forall t \in \mathbb{R}, con g(c) = 0
Per risolvere le equazioni a variabili separabili:
trovo il dominio della funzione f(t,y(t))
trovo eventuali soluzioni costanti (se g(c) = 0)
trovo l’integrale generale nel caso in cui g(y(t)) \neq 0:
divido per g(y(t)) e moltiplico per dt ambo i membri: \frac{y'(t)}{g(y(t))}\, dt = h(t)\, dt
integro entrambi i membri: \int \frac{y'(t)}{g(y(t))}\, dt = \int h(t)\, dt
ricavo y (forma esplicita)
Forma normale: y'(t) = a(t) \cdot y(t) + b(t)
Con a, b: J \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue su J
Eventuali soluzioni costanti: se \displaystyle y_0 = -\frac{b(t)}{a(t)} è costante \forall t \in J, allora y(t) = y_0 è soluzione costante
Per risolvere le equazioni lineari:
Date a,b: J \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue su J, data l’equazione differenziale lineare di primo ordine:
y'(t) = a(t) \cdot y(t) + b(t)
Considero la funzione A(t) = \displaystyle \int{a(t)}\, dt una qualsiasi primitiva di a(t), ho che:
y(t) = e^{A(t)} \cdot \left( \int{e^{-A(t)} \cdot b(t)\, dt} \textcolor{lime}{+ c}\right)
è l’integrale generale dell’equazione differenziale lineare di primo ordine.
Premesse:
Se \alpha è irrazionale o razionale a denominatore pari, y^\alpha ha senso solo per y \ge 0 (noi consideriamo sempre y \ge 0)
Per \alpha \in (0, 1), non vale l’unicità della soluzione del problema di Cauchy
Per \alpha = 0, non ha significato y^\alpha per y = 0
Per risolvere le equazioni di Bernoulli:
Cerco eventuali soluzioni costanti:
k(t)y + h(t) y^\alpha = 0
È sempre soluzione costante y(t) = 0\, \forall t; se k e h sono costanti, allora trovo l’altra soluzione
Per cercare soluzioni non costanti, divido per y^\alpha: \frac{y'}{y^\alpha} = k(t)\textcolor{lime}{y^{1-\alpha}} + h(t)
Pongo z(t) = y^{1- \alpha} e determino l’equazione soddisfatta da z: \begin{align*}
z'(t) &= (1 - \alpha)\, y^{1-\alpha -1} y' \\
&= (1 - \alpha)\, \frac{y'}{y^\alpha} \\
&= (1 - \alpha) \left[ k(t) z(t) + h(t) \right] \\
&= (1 - \alpha) \, k(t) z(t) + (1 - \alpha) \, h(t)
\end{align*}
che è lineare in z
Risolvo la EDO lineare in z e trovo z(t):
z'(t)\, \underbrace{- (1 - \alpha) \, k(t)}_{a(t)} \, z(t) = \underbrace{(1-\alpha)\, h(t)}_{b(t)}
Ritorno alla variabile y: y(t) = z(t)^{\frac{1}{1-\alpha}}
Vediamo inizialmente il caso delle omogenee:
a(t)y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = 0
con a, b, c: J \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue su J e a \ne 0 in J.
Consideriamo lo scenario più semplice, cioè con a, b, c costanti reali.
Per risolvere le EDO di secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti, si considera l’equazione caratteristica:
a \lambda^2 + b \lambda + c = 0
e si risolve per \lambda_1, \lambda_2:
\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Se \Delta = b^2 - 4ac > 0, allora \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} e l’integrale generale è una combinazione lineare di esponenziali reali: y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}
Se \Delta = 0, allora \lambda_1 = \lambda_2 = \frac{-b}{2a} \in \mathbb{R} e l’integrale generale è una combinazione lineare di esponenziali reali, uno dei quali moltiplicato per t: y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 t e^{\lambda_2 t}
Se \Delta < 0, allora \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} e posso scrivere \lambda come:
\lambda = m \pm ui
L’integrale generale diventa:
y(t) = e^{mt} \left[ c_1 \cos u + c_2 \sin {ut} \right]
Siano a, b, c : J \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue, con a \ne 0 in J, l’integrale generale dell’equazione omogenea:
a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = 0
è uno spazio vettoriale di dimensione 2, cioè le soluzioni sono tutte e sole della forma:
y_O (t) = c_1 y_{O_1}(t) + c_2 y_{O_2}(t)
con c_1, c_2 \in \mathbb{R}, dove y_{O_1}, y_{O_2} sono soluzioni linearmente indipendenti.
Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni y \in C^2(J), cioè:
C^2 (J) = \{y \in C^1(J) \mid \text{$y''$ derivabile due volte e $y''$ continua su $J$}\}
L’integrale generale dell’omogenea è il seguente sottoinsieme di V:
W=\{y \in V \mid ay'' + by'' + cy'' = 0\} = \ker \mathcal{L}
dove \mathcal{L} è l’operatore definito nel principio di sovrapposizione. W, in quanto nucleo di un’applicazione lineare, è un sottospazio vettoriale.
Per dimostrare che W ha dimensione 2 devo:
esibire due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione:
\begin{cases}
ay_{O_1}'' + by_{O_1}' + cy_{O_1} = 0 \\
y_{O_1}(t_0) = 1 \\
y_{O_1}'(t_0) = 0
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
ay_{O_2}'' + by_{O_2}' + cy_{O_2} = 0 \\
y_{O_2}(t_0) = 0 \\
y_{O_2}'(t_0) = 1
\end{cases} verifico che y_{O_1}, y_{O_2} sono linearmente indipendenti:
se per assurdo fossero una multiplo dell’altra:
y_{I_1} (t) = k y_{O_2} (t)\, \forall t \in J
in particolare, per t = t_0:
y_{O_1} (t_0) = k y_{O_2} (t_0) \implies 1 = 0
che è assurdo, quindi y_{O_1}, y_{O_2} sono linearmente indipendenti.
dimostrare che ogni altra soluzione dell’equazione si scrive come combinazione lineare di y_{O_1}, y_{O_2}:
Data una qualunque soluzione y_O dell’equazione, pongo:
\begin{cases} k_1 = y_O(t_0) \\ k_2 = y_O'(t_0) \end{cases}
e
z(t) k_1 y_{O_1}(t) + k_2 y_{O_2}(t)
e affermo che z(t) = y_O(t)\, \forall t.
Infatti z(t) è soluzione della EDO e soddisfa il medesimo problema di Cauchy:
z(t_0) = k_1 \underbrace{y_{O_1}(t_0)}_1 + k_2 \underbrace{y_{O_2}(t_0)}_0 = k_1 = y_O(t_0)
z'(t_0) = k_1 y_{O_1}'(t) + k_2 y_{O_2}'(t) = k_1 = y_O(t_0)
quindi, per il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy, z(t) = y_O(t)\, \forall t \in J.
\square
La funzione f è detta “forzante”.
L’integrale generale è dato dalla somma dell’integrale generale dell’omogenea associata e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea:
y(t) = y_O(t) + y_P(t)
Per prima cosa quindi individuo l’integrale generale dell’omogenea associata, e successivamente cerco una soluzione particolare dell’equazione non omogenea con il Metodo di Somiglianza.
In base al tipo di forzante f, si sceglie la forma di y_P:
| f(t) | y_P(t) |
|---|---|
| a_1 t^n + a_2 t^{n-1} + ... + a_n | polinomio di grado n * |
| a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) | A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t) |
| a e^{\lambda t} | A e^{\lambda t} |
Se la forzante è combinazione lineare di queste funzioni, allora la soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari associate a ciascuna forzante caratteristica.
Se la soluzione particolare è una soluzione dell’omogenea associata (un caso specifico dell’integrale generale già trovato), si riprova a calcolarla moltiplicando la forma generale dell’integrale particolare per un coefficiente t, esponenziato quanto necessario affinché non vi sia più il problema.
Problema che consiste nel trovare la soluzione particolare che soddisfa una data condizione iniziale:
\begin{cases}
y' = f(t, y(t)) \\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
NB:
il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione (Teorema di esistenza e unicità delle soluzioni, che NON verrà dimostrato)
per determinare la soluzione del problema di Cauchy, è utile ripartire il dominio di f in regioni su t ed y(t) ove f è continua, e considerare solo l’integrale generale relativo all’intervallo o regione che contiene (t_0, y_0) (perché la soluzione è unica, quindi non può cambiare in intervalli diversi); questo può semplificare i conti, specialmente quando integrando si ottengono moduli
Per risolvere il problema di Cauchy:
determino l’integrale generale (con eventuali soluzioni costanti)
impongo la condizione y(t_0) = y_0 e determino la costante c
sostituisco la costante c nell’integrale generale e ottengo la soluzione particolare